Tétel
limsup n_sqrt(abs(a_n))<1 ⇒sum a_n n=0→♾️ konvergens ∧ limsup n_sqrt(abs(a_n))>1 ⇒ sum a_n n=0 →♾️ divergens
Bizonyitás
limsup n_sqrt(abs(a_n))<1 ⇒ ∃ q limsup n_sqrt(abs(a_n))<q<1 ⇒ ∃ N ∀n>N n_sqrt(abs(a_n))<q ⇒ ∃ N ∀n>N abs(a_n)<q^n
q<1 ⇒ q^n konvergens ⇒ sum q^n n=0→♾️ konvergens
sum q^n n=0→♾️ kovergens ∧ ∀n>N 0<abs(a_n)<q^n ⇒ sum abs(a_n) konvergens n=0→♾️ ⇒ sum a_n n=0→♾️konvergens
limsup n_sqrt(abs(a_n))>1 ⇒ ∃ q limsup n_sqrt(abs(a_n))>q>1 ⇒ ∃ ♾️ tag úgy hogy abs(a_n)>q^n
∃ ♾️ tag úgy hogy abs(a_n)>q^n ⇒¬a_n→0 ⇒sum a_n n=0→♾️divergens